Moderná teória portfólia (Markowitzov model)

Základná idea modernej teórie portfólia

Moderná teória portfólia (MPT), spojená s menom Harryho Markowitza (1952), formuluje kvantitatívny rámec výmeny medzi výnosom a rizikom pri tvorbe portfólia rizikových aktív. Kľúčovou tézou je, že celkové riziko portfólia závisí nielen od rizikovosti jednotlivých titulov, ale najmä od ich vzájomných kovariancií. Investor preto optimalizuje váhy tak, aby pri danej požadovanej miere očakávaného výnosu minimalizoval rozptyl (volatilitu), resp. naopak, pri danom riziku maximalizoval očakávaný výnos. Výsledkom je efektívna hranica, na ktorej ležia „najlepšie“ portfóliá.

Formálna definícia mean–variance problému

Nech n je počet aktív, μ ∈ ℝⁿ vektor očakávaných výnosov, Σ ∈ ℝⁿˣⁿ symetrická pozitívne definitná kovariančná matica výnosov a w ∈ ℝⁿ vektor váh (súčet váh 1). Základná minimalizácia rozptylu pri cieli μ_p je:

min_w wᵀ Σ w s.t. wᵀ μ = μ_p 1ᵀ w = 1 (príp. w ≥ 0, ak zakážeme short)

Alternatívna formulácia maximalizuje Markowitzovu užitočnosť s averziou k riziku λ > 0:

max_w wᵀ μ − (λ/2) wᵀ Σ w s.t. 1ᵀ w = 1

Efektívna hranica a minimálno-variabilné portfólio (GMV)

Riešenia tvoria parabolu v priestore (σ, μ): spodná časť je neefektívna, horná časť je efektívna hranica. Špeciálnym bodom je globálne minimálno-variabilné portfólio (GMV) s najnižšou možnou volatilitou:

w_GMV = (Σ⁻¹ 1) / (1ᵀ Σ⁻¹ 1)

Pre akékoľvek cieľové μ_p sa riešenia dajú vyjadriť uzavretou formou z momentov A = 1ᵀ Σ⁻¹ 1, B = 1ᵀ Σ⁻¹ μ, C = μᵀ Σ⁻¹ μ a diskriminantu Δ = AC − B².

Pridanie bezrizikového aktíva: tangentné portfólio a CAPM

Ak existuje bezrizikové aktívum s výnosom r_f, optimálne portfóliá ležia na kapitálovej alokačnej priamke (CAL) s tangentným portfóliom:

w_TAN ∝ Σ⁻¹ (μ − r_f 1)

Každý investor kombinuje bezrizikové aktívum a tangentné portfólio podľa svojej averzie k riziku. V rovnováhe vedie tento výsledok k CAPM a lineárnemu vzťahu medzi očakávaným výnosom a betou voči trhovému portfóliu.

Predpoklady Markowitzovho modelu

• Investori hodnotia portfóliá podľa dvojice momentov: stredná hodnota (očakávaný výnos) a rozptyl (volatilita).
• Výnosy sú aspoň približne ellipticky rozdelené (napr. normálne) alebo investori majú kvadratickú užitočnosť.
• Náklady a dane sú zanedbateľné (v základnom modeli).
• Parametre μ a Σ sú známe (alebo dostatočne spoľahlivo odhadnuteľné).

Diverzifikácia a úloha kovariancií

Diverzifikácia znižuje špecifické (idiosynkratické) riziko, nie však systematické riziko. Kľúčovým mechanizmom je, že nízke alebo záporné korelácie medzi aktívami znižujú portfóliový rozptyl. Preto sú pre návrh portfólia kritické kovariancie a kvalitný odhad Σ.

Odhad parametrov: problémy s chybou odhadu

V praxi nie sú μ ani Σ známe. Odhady z krátkych vzoriek trpia vysokým šumom, ktorý vedie k extrémnym a nestabilným váham. Typické zlepšenia:

• Shrinkage kovariančnej matice (Ledoit–Wolf) smerom k štruktúrovanému cieľu.
• Faktorové modely (napr. trhový, sektorové, štýlové faktory) na stabilizáciu kovariancií.
• Bayesovské/priorové odhady výnosov (napr. Black–Litterman), ktoré kombinujú trhové implikácie a názory investora.
• Robustná optimalizácia: penalizácia citlivosti na chybu odhadu alebo scenárové súbory.

Black–Litterman: premostenie medzi MPT a trhom

Model Black–Litterman konštruuje equilibrium vektor výnosov implikovaný trhovými váhami a kovarianciou a umožňuje inkorporovať subjektívne názory s kontrolou ich neistoty. Výsledné μ sú menej extrémne a portfóliá stabilnejšie.

Obmedzenia a rozšírenia optimalizácie

• Krátke predaje: w ≥ 0 zvyšuje konvexitu problému a často zlepšuje interpretovateľnosť portfólia.
• Koncentrácia: limity na jednotlivé váhy alebo sektorové agregáty.
• Obrat (turnover) a transakčné náklady: penalizácia ‖w − w_prev‖ v objective.
• Viacperiódové nastavenia a rebalans: kompromis medzi driftom váh a nákladmi.
• ESG/klimatické obmedzenia: lineárne či konvexné constrainty na skóre alebo uhlíkovú intenzitu.

Alternatívne rizikové metriky: semivariančné a tail riziká

Rozptyl penalizuje aj pozitívne odchýlky. V praxi sa uplatňujú:

• Semi-variance/Downside deviation: penalizuje len poklesy pod cieľ/threshold.
• VaR/CVaR: metriky zamerané na „chvostové“ straty; optimalizácia CVaR je lineárne programovanie.
• Max drawdown a Sortino ratio ako doplnkové kritériá.

Numerická implementácia a riešiteľnosť

Základný Markowitz je konvexný kvadratický program (QP), dobre riešiteľný modernými solvéry. Pri veľkom n je výpočet náročný hlavne kvôli odhadu a invertovaniu Σ. Rozumné postupy:

• Regularizácia Σ a kontrola podmienkového čísla.
• Využitie faktorovej štruktúry na redukciu dimenzie.
• Grid/cestu efektívnej hranice: pre sériu cieľov μ_p vyhodnotiť portfóliá a získať celú krivku.

Výkonnosť a diagnostika: čo sledovať

• Ex ante: očakávaný výnos, volatilita, Sharpe/Information ratio, expozície na faktory.
• Ex post: realizované metriky, tracking error, atribúcia výnosov (allocation vs. selection), zložky rizika (marginal/percentage risk contributions).
• Stabilita váh: citlivosť na malé zmeny vstupov, turnover a transakčné náklady.

Konštrukčné heuristiky ako benchmark

Keď sú odhady neisté, jednoduché pravidlá poskytujú robustné baseline:

• 1/n portfólio (rovnaké váhy) – prekvapivo ťažko prekonateľné pri veľkej parameterickej neistote.
• Minimum-variance – ignoruje μ, spolieha sa len na Σ; často dobrá voľba pri slabom signáli výnosov.
• Risk parity – rovnomerná príspevkovosť rizika, implicitne využíva pákovanie pri multiklase s bezrizikovým komponentom.

Regimová závislosť a nestacionarita

Korelácie a volatility sú časovo premenlivé a počas stresových období majú tendenciu konvergovať k 1 (kolaps diverzifikácie). Nástroje:

• Modely GARCH a stochastic volatility pre kondicionálne Σ.
• Režimové (Markov-switching) modely pre viacstavovú dynamiku.
• Stresové testy a scenárové analýzy s historickými krízami (dot-com, GFC, pandemické trhy).

Praktická implementácia: krok za krokom

1. Definujte investičný vesmír (triedy aktív, regióny, sektory, limity).
2. Zvoľte horizont a frekvenciu (dnevné/týždenné/mesačné údaje) a dátové zdroje.
3. Odhadnite parametre: kovariančná matica so shrinkage alebo faktorový model; výnosy cez Black–Litterman alebo robustné priory.
4. Nastavte obmedzenia (váhové, sektorové, ESG, obratové) a nákladový model.
5. Optimalizujte QP problém po celej efektívnej hranici; vyberte bod podľa preferencií rizika (Sharpe max, TE target, a pod.).
6. Validujte backtestom a out-of-sample testom; sledujte stabilitu váh a citlivosť.
7. Prevádzkujte s disciplinovaným rebalansom (časový alebo prahový) a priebežným monitorovaním parametrov.

Ilustračná tabuľka: vplyv korelácie na volatilitu portfólia

Poznámka: Výpočet vychádza zo vzorca σ_p = √(w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2w₁w₂σ₁σ₂ρ); pri negatívnej korelácii diverzifikácia dramaticky klesá volatilitu.

Riadenie koncentrácie a príspevkov k riziku

Popri váhach sledujte aj marginal risk contributions a percent risk contributions k celkovému σ_p. Limity na príspevky bránia dominancii jedného titulu alebo faktora v portfóliu.

Transakčné náklady, dane a implementačné detaily

• Modelujte lineárne aj nelineárne náklady (bid–ask, provízie, trhový dopad).
• Penalizujte turnover v objective alebo viažte rebalans na prahové odchýlky.
• Zohľadnite daňové efekty (wash sale pravidlá, holding period) pri konštrukcii rebalansu.

Limity MPT v reálnom svete

• Rozdelenia výnosov majú ťažké chvosty a šikmosť; var/ES môžu dopĺňať rozptyl.
• Parametre sú nestabilné a citlivé na vzorku; robustné odhady sú nevyhnutnosťou.
• Počas kríz korelácie stúpajú, diverzifikácia slabne; scénarové a stresové testy sú kľúčové.

Best practices pre profesionálnu prax

• Kombinujte modelovo odvodené váhy s disciplínou obmedzení (váhové, sektorové, rizikové).
• Preferujte stabilitu pred „ostrosťou“: shrinkage, Black–Litterman, minimum-variance baseline.
• Zavádzajte kontroly robustnosti: rolling estimácie, out-of-sample, k-fold validácia.
• Komunikujte riziko v scenároch (normál, stres, „reverse stress test“).

Markowitz ako základ, prax ako umenie

Markowitzov model poskytuje rigorózny základ pre tvorbu portfólií – matematicky jasnú definíciu efektívnosti a diverzifikácie. Reálna implementácia však vyžaduje opatrnú štatistiku, robustné odhady, praktické obmedzenia a dôsledné monitorovanie. V spojení s modernými rozšíreniami (Black–Litterman, faktorové modely, CVaR optimalizácia) zostáva MPT centrálnym pilierom riadenia investičného rizika a diverzifikácie v profesionálnych portfóliách.