Typy úrokových sadzieb a ich výpočet

Čo je úroková sadzba a prečo na nej záleží

Úroková sadzba vyjadruje cenu kapitálu v čase: koľko zaplatí dlžník veriteľovi za poskytnutie finančných prostriedkov alebo aký výnos získa investor za poskytnutie kapitálu. Úrok je funkciou sumy (istina), času, frekvencie kapitalizácie, rizika a likvidity. Správne porovnávanie ponúk a produktov vyžaduje jednotný základ – zvyčajne efektívnu ročnú sadzbu alebo ročnú percentuálnu mieru nákladov (RPMN/APR).

Základné typy: nominálna vs. efektívna ročná sadzba

Nominálna ročná sadzba (NRS, nominal annual rate) je „tabuľková“ sadzba citovaná poskytovateľom, často s pripojenou frekvenciou kapitalizácie (mesačne, kvartálne, denne). Sama o sebe neumožňuje férové porovnanie bez informácie o kapitalizačnom cykle.
Efektívna ročná sadzba (ERS, effective annual rate, APY) je sadzba, ktorá zohľadňuje zložené úročenie počas roka. Pre nominálnu sadzbu i_nom a počet kapitalizácií m platí: ERS = (1 + i_nom/m)^m − 1.

Príklad: Nominálne 8 % p. a. s mesačnou kapitalizáciou: ERS = (1 + 0,08/12)¹² − 1 ≈ 8,30 %.

Jednoduché vs. zložené úročenie

Jednoduché úročenie: úrok sa počíta len z istiny. Hodnota v čase t (v rokoch) je FV = PV · (1 + i · t).
Zložené úročenie: úrok sa pripisuje k istine a ďalej sa úročí. Pri kapitalizácii m-krát ročne: FV = PV · (1 + i_nom/m)^m·t.
Kontinuálne úročenie: limit pri nekonečnej frekvencii kapitalizácie: FV = PV · e^r·t, kde r je kontinuálna (logaritmická) sadzba.

Fixná vs. pohyblivá (variabilná) sadzba

Fixná sadzba zostáva po dohodnutý čas nezmenená. Umožňuje presné plánovanie splátok, no prenáša riziko zmeny trhových sadzieb na veriteľa.
Pohyblivá sadzba sa v pravidelných intervaloch preceňuje podľa referenčnej sadzby (napr. risk-free RFR ako €STR, resp. historicky IBOR), plus fixná prirážka (marža). Vzorec: i_t = RFR/IBOR_t + marža.
Hybridy: fixácia na 1–10 rokov s následným preceňovaním, „cap/floor“ limity či kombinácie (split-loan).

Referenčné sadzby a marže

Trhové kontrakty používajú štandardizované referencie:

Krátke bezrizikové sadzby (RFR): €STR (euro), SOFR (USD), SONIA (GBP), SARON (CHF). Úroky sa často počítajú ako po spätnom zverejnení (in arrears) s denným zložením.
IBOR sadzby (napr. 3M EURIBOR): termínové medzibankové depozitné sadzby (v novších kontraktoch sú nahrádzané RFR konštruktmi).
Marža: prirážka za kreditné riziko, kapitálové náklady, likviditu a administratívu – zvyčajne fixná počas trvania zmluvy.

Deň-počty a konvencie (day count conventions)

Úroky sa medzi dátumami rátajú podľa konvencií, ktoré definujú zlomok roka YF (year fraction). Úrok = istina × sadzba × YF.

Konvencia	Popis	Typické použitie
ACT/360	Skutočný počet dní / 360	Money market, RFR „in arrears“
ACT/365 (Fixed)	Skutočný počet dní / 365	GBP, retail úvery
30E/360	Každý mesiac má 30 dní; Európska	Dlhopisy v EUR
30/360 (US)	Americká varianta 30-dňových mesiacov	US corporate bonds, hypotéky

Diskontné (jednorazové) a „add-on“ sadzby

Diskontná sadzba: úrok sa odpočíta z istiny na začiatku; dlžník dostane PV − úrok a splatí PV. Pri ACT/360: diskont = PV · d · (dni/360). Efektívna sadzba je vyššia než d, keďže úrok sa počíta z nominálu, nie z čistého inkasa.
Add-on sadzba: úrok sa pripočíta k istine na začiatku a spláca sa rovnomerne. EIR je vyššia než uvádzaná add-on miera.

Anuitné splácanie a amortizačný vzorec

Pri anuitnom úvere s mesačnou sadzbou j = i_nom/12 a počtom splátok n je mesačná splátka:

A = PV · [ j · (1 + j)ⁿ ] / [ (1 + j)ⁿ − 1 ]

Podiel úroku v splátke klesá v čase (na začiatku tvorí väčšinu splátky), podiel istiny rastie. Amortizačný plán umožňuje odvodiť zostatok po ľubovoľnom počte splátok:

Balance_k = PV · (1 + j)^k − A · [ (1 + j)^k − 1 ] / j

RPMN/APR a celková cena úveru

Ročná percentuálna miera nákladov (RPMN/APR) je interná miera výnosnosti (IRR) peňažných tokov medzi veriteľom a dlžníkom, ktorá do sadzby zahrňuje aj poplatky, poistenie či povinné doplnkové produkty. Vypočíta sa riešením rovnice:

∑_t=0..T CF_t / (1 + APR)^t/rok = 0

APR umožňuje porovnávať ponuky s rôznymi poplatkami a frekvenciami splátok na jednotnom ročnom základe.

Výnos do splatnosti (YTM) a diskontné faktory

Výnos do splatnosti dlhopisu je sadzba, pri ktorej sa diskontované budúce kupóny a istina rovnajú trhovej cene: Price = ∑ C / (1 + y/m)^m·t + M / (1 + y/m)^m·T.
Diskontný faktor pre čas t pri spojitej sadzbe r(t): DF(t) = e^{−∫₀^t r(u) du}. Zo sady DF sa odvodia spotové a forwardové sadzby.
Forwardová sadzba medzi t1 a t2 (kontinuálne): f(t1,t2) = [ln DF(t1) − ln DF(t2)] / (t2 − t1).

Premostenie medzi nominálnou, efektívnou a kontinuálnou sadzbou

Zo nominálnej na efektívnu: ERS = (1 + i_nom/m)^m − 1.
Zo efektívnej na kontinuálnu: r = ln(1 + ERS).
Zo kontinuálnej na nominálnu pri m: i_nom = m · (e^r/m − 1).

Prepočet sadzieb pri zmene day-count a báz

Pri konverzii sadzieb medzi trhmi (napr. ACT/360 vs. ACT/365) sa používa ekvivalencia výnosu za rovnaké obdobie. Ak i₃₆₀ je ACT/360 a i₃₆₅ hľadáme pre rovnaký denný výnos, približne platí:

i₃₆₅ ≈ i₃₆₀ · (365/360) pri krátkych obdobiach; presne treba vychádzať z konkrétneho počtu dní a príslušného YF.

Úrokové sadzby pri vkladových produktoch

APY (Annual Percentage Yield) = ERS depozita (zohľadňuje frekvenciu pripisovania úrokov a kapitalizáciu).
„Teaser“ sadzby s krátkym trvaním: správne porovnanie vyžaduje vypočítať celkový výnos za rok pri skutočnom harmonograme sadzieb a kapitalizácii.
Úročenie s viazanosťou: penalizácie za predčasné výbery znižujú efektívnu výnosnosť; používame scenárový výpočet IRR s pokutou ako záporným CF.

Modelovanie preplatenia úveru: citlivosť na sadzby a poplatky

Celková zaplatená suma = súčet splátok + jednorazové/periodické poplatky − vyplatená istina. Citlivosť:

Δsadza o 1 p. b. pri 30-ročnej hypotéke typicky zvýši splátku o ~10–12 % (závisí od úrovne sadzby a zaokrúhľovania).
Poplatky v % z istiny zvyšujú APR výraznejšie pri krátkych splatnostiach (poplatok sa „rozpúšťa“ cez menej období).
Splátková frekvencia (mesačná vs. týždenná) mení ERS; častejšie splácanie znižuje úroky vďaka rýchlejšiemu poklesu zostatku.

Praktické príklady výpočtov

Efektívna sadzba z mesačnej nominálnej: 8 % p. a., mesačné pripisovanie → ERS = (1+0,08/12)¹²−1 ≈ 8,30 %.
Anuitná splátka: PV = 100 000 €, i_nom = 6 % p. a., n = 360 mesiacov → j=0,06/12=0,005, A = 100000·[0,005·(1,005)³⁶⁰]/[(1,005)³⁶⁰−1] ≈ 599,55 €.
APR s poplatkom: jednorazový poplatok 2 % z istiny pri rovnakom úvere → APR > 6 %; vypočíta sa ako IRR peňažných tokov (mení sa t=0 príjem dlžníka na 98 000 €).

Rizikové prirážky a termínová štruktúra

Observovaná sadzba často pozostáva z viacerých komponentov: i = r_bezriz. + inflačné očakávania + prirážka za kreditné riziko + prirážka za likviditu + prirážka za splatnosť. Výnosová krivka (termínová štruktúra sadzieb) zobrazuje závislosť sadzieb od splatnosti a slúži na oceňovanie, hedging aj plánovanie refinancovania.

Efekt zloženia: porovnanie rôznych frekvencií

Nominálna 10 % p. a.	m (kapitalizácií/rok)	ERS
10 %	1 (ročná)	10,00 %
10 %	4 (kvartálne)	10,38 %
10 %	12 (mesačne)	10,47 %
10 %	365 (denne)	10,52 %
r = ln(1,1052)	kontinuálne	≈ 10,52 %

Úrokové sadzby v derivátoch a úverových dohodách

Swapová sadzba: v úrokovom swapu sa fixná sadzba nastaví tak, aby súčet diskontovaných fixných platieb rovnal súčtu očakávaných variabilných platieb → čistá súčasná hodnota = 0 pri uzavretí.
Cap/Floor: opcie na úrokové sadzby, ktoré limitujú variabilnú sadzbu nad/pod úrovňou; „caplet/floorlet“ oceňované pomocou forwardovej krivky a volatility.
Úverové zmluvy: definujú konvencie (day-count), reset dátumy, „business day“ pravidlá, metódu zloženia RFR (denné/obdobné) a ochranu pri negatívnych sadzbách.

Najčastejšie chyby pri výpočtoch a porovnávaní

Porovnávanie nominálnych sadzieb s rôznou kapitalizáciou bez prepočtu na ERS/APY.
Ignorovanie poplatkov a poistení pri odhade APR/RPMN.
Nesprávna day-count konvencia (ACT/360 vs. ACT/365) a zaokrúhľovanie dní.
Zámena diskontnej a úrokovej miery (diskont sa počíta z nominálu, nie z čistého inkasa).
Nepoužitie správnych dátumových kalendárov (pracovné dni, „following/modified following“).

Postup pre korektné porovnanie produktov

Identifikujte nominálnu sadzbu, frekvenciu kapitalizácie a day-count konvenciu.
Prepočítajte na ERS/APY; pri úveroch vypočítajte APR/RPMN z reálnych peňažných tokov.
Overte poplatky (upfront, mesačné, výstupné) a vplyv predčasného splatenia.
Vyhodnoťte úrokové riziko (fix vs. variabil), scenáre refixácie a stres test (+/− 2 p. b.).

Úrokové sadzby majú mnoho podôb – od jednoduchých depozitných sadzieb po komplexné termínové a derivátové miery. Kľúčom k správnemu rozhodovaniu je používanie jednotných základov (ERS/APY, APR), dôsledná práca s konvenciami (day-count, zloženie), pochopenie rizikových prirážok a transparentné modelovanie peňažných tokov. Len tak je možné presne vyčísliť cenu kapitálu, porovnať alternatívy a riadiť úrokové riziká v praxi.